香腸炒章魚

計算平均數，我們平時說的平均數，就是計算平均數， 假設一學生的期末考試，語文 \(\displaystyle 90\)、數學 \(\displaystyle 85\)、英語 \(\displaystyle 90\)，平均分 \(\displaystyle =(90 + 85 + 90) \div 3\) 約 \(\displaystyle =88.3\)

 

但如果，每科所占的比重不一樣，如 語文占 \(\displaystyle 30\%\)， 數學占 \(\displaystyle 40\%\)，英語占 \(\displaystyle 30\%\)，這樣所占比重不一樣的平均數，就是加權平均數。

加權平均分 \(\displaystyle =(90 \times 0.3 + 85 \times 0.4 + 90 \times 0.3) \div (0.3 + 0.4 + 0.3) = 88\)

 

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加權平均數，中的「權」，是權重的意思（也就是比重），即每個數對最終的平均數的貢獻（重要性）是不一樣的，當貢獻一

樣時，此時的加權平均數，就是計算平均數。權重，可以根據需求自己設定（不同環境下，不同需求下都會有所不同）

 

加權平均數的公式如下：

數值：數學定義 ①

\(\displaystyle [x_1, ... x_n]\)

 

各數的權值：數學定義 ②

\(\displaystyle [w_1, ... w_n]\) //權值可以自己定義的

 

計算平均數（是一種特殊的加權平均數）：所有數值相加 除以 總數量

根據數學定義 ④

\(\displaystyle a = (x_1 + .... + x_n) \div n\)

 

加權平均數： 所有數值乘以自己的權重後相加 除以 權重的和

根據數學定義 ③

\(\displaystyle b = (x_1 \times w_1 + ... + x_n \times w_n) \div (w_1 + ... + w_n)\)

所以，當權重都相同 （而且為1的時候），加權平均數 和 計算平均數一樣。

 

例子

給出一個學校的兩個班級，一個班級有 \(\displaystyle 20\) 名學生，另一個有 \(\displaystyle 30\) 名學生，在一次測驗中兩個班級的成績分別為：

一班 \(\displaystyle = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98 = 1600\)

二班 \(\displaystyle = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 = 2700\)

 

從以上數據可以得出，一班的直接平均數是 \(\displaystyle 80\)，二班的直接平均數是 \(\displaystyle 90\)。而 \(\displaystyle 80\) 和 \(\displaystyle 90\) 的直接平均數是 \(\displaystyle 85\)，這是兩個班級均值的均值。然而，這樣的計算並沒有考慮到每個班級學生的不同數量，\(\displaystyle 85\) 這個平均值並沒有完整反映出這兩個班級整體的平均成績（與班級無關），平均學生成績可以通過計算所有學生成績的平均數來獲得，或者通過以班級人數作為權重來計算兩個班級均值的加權平均數獲得：

\(\displaystyle \bar{x} = \frac{4300}{50} = 86\)

 

或者，用班級均值的加權平均數計算：

\(\displaystyle \bar{x} = \frac{(20)80 + (30)90}{20 + 30} = 86\)  

加權平均數使得僅知道各個班級平均成績和學生數量而求出整體學生的平均成績成為可能。

 

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數學定義

 

① 以數學式來表示，假設資料中有數值 \(\displaystyle x_1 \sim x_n\)：

\(\displaystyle [x_1, x_2, ..., x_n]\)  

 

② 各數值各有一個權值 \(\displaystyle w\)：

\(\displaystyle [w_1, w_2, ..., w_n]\)  

 

③ 這些數值的加權平均數即為：

\(\displaystyle \bar{x} = \frac{w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n}{w_1 + w_2 + ... + w_n}\)  

 

④ 以更簡潔的數學式表示：

\(\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^n w_ix_i}{\sum_{i = 1}^n w_i}\)  

如果所有的權值皆等於 \(\displaystyle 1\)，此時加權平均數便等於算術平均數。

 

 

Reference：http://www.cnblogs.com/tommy-huang/p/8856275.html

Reference：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E6%AC%8A%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B8